Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ comme $u - 1$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u - 1}$ comme ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5

Développez $(u - 1) u^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{2}{3}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - \int u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C))$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{3}{5}$ et ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Étape 12.1.2

Associez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2}) + C$

Étape 12.1.3

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Étape 12.2

Pour écrire $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Étape 12.3

Pour écrire $- \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 12.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 12.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 12.4.3

Multipliez $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 5}) + C$

Étape 12.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10}) + C$

Étape 12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Étape 12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.1

Factorisez $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5$ .

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Étape 12.6.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 12.6.1.1.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Étape 12.6.1.1.2

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Étape 12.6.1.2

Factorisez $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Étape 12.6.1.3

Factorisez $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ à partir de $- 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)}{10} + C$

Étape 12.6.1.4

Factorisez $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1 \cdot 5)}{10} + C$

Étape 12.6.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 5)}{10} + C$

Étape 12.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.6.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{1} - 5)}{10} + C$

Étape 12.6.3.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 (x^{2} + 1) - 5)}{10} + C$

Étape 12.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5)}{10} + C$

Étape 12.6.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 - 5)}{10} + C$

Étape 12.6.4

Soustrayez $5$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{10} + C$

Étape 12.7

Associez.

$\frac{1 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3))}{2 \cdot 10} + C$

Étape 12.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{2 \cdot 10} + C$

Étape 12.9

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{20} + C$