Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{2 + e^{x}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + e^{x}$ .

$2 {(2 + e^{x})}^{\frac{1}{2}} + C$