Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Étape 1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

Étape 1.5

Additionnez $7$ et $2$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.4.2

Multipliez $2$ par $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.6

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Étape 8.6.1

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.6.2

Associez $- 32$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.6.3

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.7

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Étape 8.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.7.2

Soustrayez $64$ de $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8

Simplifiez

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Étape 8.8.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9

Simplifiez

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Étape 8.9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.3

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 8.9.3.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.9.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.9.3.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.10

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Étape 8.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 8.10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.10.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 8.10.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 8.10.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Étape 8.11

Simplifiez

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Étape 8.11.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Étape 8.11.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Étape 8.11.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Étape 8.11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Étape 8.12

Simplifiez

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Étape 8.12.1

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 8.12.2

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 8.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Étape 8.12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.12.4.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Étape 8.12.4.2

Soustrayez $16$ de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Étape 8.13

Simplifiez

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Étape 8.13.1

Associez $- 2$ et $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Étape 8.13.2

Multipliez $- 2$ par $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Étape 8.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Étape 8.14

Simplifiez

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Étape 8.14.1

Pour écrire $\frac{422}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Étape 8.14.2

Pour écrire $- \frac{76}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.14.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.14.3.1

Multipliez $\frac{422}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.14.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.14.3.3

Multipliez $\frac{76}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Étape 8.14.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Étape 8.14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Étape 8.14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.14.5.1

Multipliez $422$ par $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Étape 8.14.5.2

Multipliez $- 76$ par $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Étape 8.14.5.3

Soustrayez $380$ de $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{886}{15}$

Forme décimale :

$59.0\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$59 \frac{1}{15}$