Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

Étape 2

Développez $({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(u - 1)}^{2}$ comme $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.9

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.10

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.11

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.15

Additionnez $2$ et $42$ .

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.16

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.17

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.19

Additionnez $1$ et $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.20

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.21

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.23

Additionnez $1$ et $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.25

Multipliez $u^{42}$ par $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.26

Soustrayez $u^{43}$ de $- u^{43}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Étape 2.27

Additionnez $u^{42}$ et $2 u^{42}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{44}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{45} u^{45}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{43}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{44} u^{44}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{42}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{43} u^{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

Étape 11

Associez $3$ et $\frac{1}{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$