Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 1) u^{3} d u$

Étape 2

Multipliez $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $u$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Multipliez $u$ par $u^{3}$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

Étape 3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

Étape 3.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 u^{3}$ comme $- u^{3}$ .

$\int u^{4} - u^{3} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$