Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = a^{2} - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = a^{2} - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Étape 1.5

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $0$ et sur $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.3.2

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Étape 7.3.3

Soustrayez $\frac{2}{3} a^{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $a^{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Étape 7.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Étape 7.4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 7.4.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Étape 7.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Étape 7.4.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Étape 7.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{3}}{3}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} a^{3}$