Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{3 y} d y$

Étape 1

Laissez $u = 3 y$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y |) + C$