Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 + 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 3$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $21$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $25$ et sur $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4

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Étape 6.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 6.4.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Étape 6.5

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Étape 6.5.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.5.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Étape 6.5.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Étape 6.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 6.6

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Étape 6.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $16$ de $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Étape 6.6.3

Annulez le facteur commun à $234$ et $3$ .

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Étape 6.6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Étape 6.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Étape 6.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Étape 6.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Étape 6.6.3.2.4

Divisez $78$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Étape 6.7

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Étape 6.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $78$ .

$\frac{78}{3}$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun à $78$ et $3$ .

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Étape 6.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Étape 6.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Étape 6.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{26}{1}$

Étape 6.7.2.2.4

Divisez $26$ par $1$ .

$26$