Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Laissez $x = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 4

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Étape 5

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 11

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Étape 12

Simplifiez

$- t + \tan (t) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$