Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $16$ est constant par rapport à $u$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $16 (- u^{- 1} + C)$ comme $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Étape 6.2.2

Associez $- 16$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$