Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Étape 1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Alors $d u = 2 r d r$ , donc $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d r}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + r^{2}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $4$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 r$ .

$2 r$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Étape 6

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $5$ et sur $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Étape 8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Étape 9

Additionnez $- \frac{1}{5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Étape 10

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $0$ .

$0$