Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Étape 1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Étape 1.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 5

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Étape 5.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (2)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2)$

Forme décimale :

$0.69314718 \dots$