Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 1 - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Alors $d u_{2} = - d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$- 1 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \int - {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- - \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 6.2

Multipliez $\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 7

Laissez $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Alors $d u_{3} = - d u_{2}$ , donc $- d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2} + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- u_{2} + 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$- 1 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int - {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez ${(- u_{3} + 1)}^{2}$ comme $(- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1)$ .

$- \int (- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (- u_{3} (- u_{3} + 1) + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.8

Déplacez $u_{3}$ .

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.9

Déplacez $u_{3}$ .

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \int 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.11

Multipliez $u_{3}$ par $1$ .

$- \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.12

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$- \int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.13

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$- \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.17

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.18

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.20.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.20.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.21

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.22

Factorisez le signe négatif.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.23

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.25

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.27

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.28

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.29

Factorisez le signe négatif.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.30

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.32

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.34

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.35

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.36

Multipliez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.37

Soustrayez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ de $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 9.38

Remettez dans l’ordre $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{2}{7}$ et ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 13.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{2}{5}$ et ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 16.2

Simplifiez

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- u_{2} + 1$ .

$- (\frac{2}{7} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- u_{1} + 1$ .

$- (\frac{2}{7} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x$ .

$- (\frac{2}{7} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$