Calcul infinitésimal Exemples

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Étape 1

Laissez $u = z^{2}$ . Alors $d u = 2 z d z$ , donc $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = z^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d z}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 z$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u}}^{6}$ comme $u^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{u}}^{8}$ comme $u^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Étape 3

Développez $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Étape 3.5

Additionnez $3$ et $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ comme $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$