Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ comme $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$