Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \sin (θ)$ . Alors $d u = \cos (θ) d θ$ , donc $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \sin (θ)$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $θ$ dans $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $θ$ dans $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Étape 4

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forme décimale :

$0.82842712 \dots$