Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x - 4$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.2

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.4.2

Additionnez $4$ et $9$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.6

Associez.

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

Étape 2.11

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Développez $(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{- 1}{2}}$ et $13 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 8

Comme $13$ est constant par rapport à $u$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 4$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Pour écrire $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Multipliez ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.1.1

Déplacez ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.2

Simplifiez $2 {(3 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.6

Soustrayez $8$ de $- 26$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7

Factorisez $2$ à partir de $6 x - 34$ .

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Étape 13.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 17)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.4

Associez.

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$