Calcul infinitésimal Exemples

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $7$ et $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Étape 5

Comme $\frac{7}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{7}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Étape 10.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Étape 10.1.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 10.1.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Étape 10.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Étape 10.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.4

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.5

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 10.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$