Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- 21 x^{2} - 4 x) \cos (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2) d x$

Étape 1

Laissez $u = - 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2$ . Alors $d u = (- 21 x^{2} - 4 x) d x$ , donc $\frac{1}{- 21 x^{2} - 4 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$- 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 21 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 21 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 21 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 21 x^{2} - 4 x + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 21 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$- 21 x^{2} - 4 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) d u$

Étape 2

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2$ .

$\sin (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 2) + C$