Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 2$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez.

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Étape 1.1.1.4.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Étape 1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - 4 x$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Étape 1.1.1.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du troisième degré, les termes $3$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{3} - 4$ .

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4.2.2

Divisez $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ par $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.5

Développez $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.6.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

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Étape 1.1.6.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.2.2

Additionnez $2 x^{3} + 2 x$ et $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.6.2.4

Additionnez $2 x^{3}$ et $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $A (x^{3} - 4)$ par $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7.4

Annulez le facteur commun de $x^{3} - 4$ .

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Étape 1.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Étape 1.1.7.4.2

Divisez $(B x^{2} + C x + D) (x)$ par $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Étape 1.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Étape 1.1.7.6

Simplifiez

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Étape 1.1.7.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.6.1.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Étape 1.1.7.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.7.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Étape 1.1.7.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Étape 1.1.7.6.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Étape 1.1.7.6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.6.2.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Étape 1.1.7.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Étape 1.1.8

Déplacez $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = D$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 2 = - 4 A$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez l’équation comme $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’équation comme $- 4 A = - 2$ .

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 4 A = - 2$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 A = - 2$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 4$ .

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Étape 1.3.2.3.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $2 = A + B$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4

Résolvez $B$ dans $2 = \frac{1}{2} + B$ .

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} + B = 2$ .

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.4.2.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Étape 1.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{3}{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $0 \cdot x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.1.4

Additionnez $\frac{3 x}{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.2

Associez $x$ et $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Étape 1.5.5

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Étape 1.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Étape 1.5.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Étape 5

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Étape 6

Laissez $u = x^{3} - 4$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x^{3} - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 6.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 7.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$