Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $5$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 5.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 5.4.3

Simplifiez

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez $1$ de $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun à $624$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $624$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Étape 5.4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Étape 5.4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Étape 5.4.3.3.2.4

Divisez $156$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Étape 5.4.4

Simplifiez

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Étape 5.4.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $156$ .

$\frac{156}{2}$

Étape 5.4.4.2

Annulez le facteur commun à $156$ et $2$ .

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Étape 5.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $156$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Étape 5.4.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Étape 5.4.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{78}{1}$

Étape 5.4.4.2.2.4

Divisez $78$ par $1$ .

$78$