Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 4 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Soustrayez $1$ de $81$ .

$\frac{80}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$20 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Étape 7.2.3.11

Soustrayez $1$ de $9$ .

$20 - 4 (\frac{8}{2})$

Étape 7.2.3.12

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Étape 7.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 7.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 - 4 (\frac{4}{1})$

Étape 7.2.3.12.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$20 - 4 \cdot 4$

Étape 7.2.3.13

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$20 - 16$

Étape 7.2.3.14

Soustrayez $16$ de $20$ .

$4$

Étape 8