Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ comme $u - 1$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u - 1}$ comme ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{u - 1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Étape 4

Divisez $u - 1$ par $u$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Étape 4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Étape 11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$