Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 8$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 8$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 8$ .

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

Étape 1.5.2

Additionnez $64$ et $8$ .

$u_{upper} = 72$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $72$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.2

Élevez $72$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $373248$ et $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $124416$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Étape 5.5

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Étape 5.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

Étape 5.6

Additionnez $124416$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

Étape 5.7

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun à $124416$ et $3$ .

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $124416$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

Étape 5.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

Étape 5.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{41472}{1}$

Étape 5.7.2.2.4

Divisez $41472$ par $1$ .

$41472$