Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Alors $d u = - \frac{3}{5} d x$ , donc $- \frac{5}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 - \frac{3}{5} x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \frac{3}{5} x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5} x$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{3}{5}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\frac{3}{5}$ de $0$ .

$- \frac{3}{5}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

Étape 2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

Étape 2.4

Associez $\frac{5}{3}$ et $\sqrt{u}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

Étape 4

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

Réécrivez $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - \frac{3}{5} x$ .

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$