Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Étape 6

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{u_{1}}$ .

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$