Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{3} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u}}^{3}$ comme $\sqrt{u^{3}}$ .

$\int \sqrt{u^{3}} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u^{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u^{3}}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u^{3}} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u^{3}}$ comme $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ comme $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2})}^{\frac{5}{2}} + C$