Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12 x^{2}}{4 x^{3} - 6} d x$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $12$ et $4 x^{3} - 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{4 x^{3} - 6} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) - 6} d x$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)} d x$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Étape 1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{6 x^{2}}{2 x^{3} - 3} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x^{3} - 3$ . Alors $d u = 6 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{6 x^{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x^{3} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x^{3} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} - 3$ .

$\ln (| 2 x^{3} - 3 |) + C$