Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Étape 4.3

Associez $\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ et $2$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Étape 4.4

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{2}$ .

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Étape 6

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Étape 7

Divisez ${u_{2}}^{2}$ par $2 u_{2} + 1$ .

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Étape 7.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Étape 7.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende ${u_{2}}^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 u_{2}$ .

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Étape 7.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

Étape 7.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u^{2} + \frac{u}{2}$

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

Étape 7.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

Étape 7.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Étape 7.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{u_{2}}{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 u_{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Étape 7.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Étape 7.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Étape 7.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Étape 7.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 12.2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Étape 13

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Étape 14

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 14.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Étape 14.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u_{2} + 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 14.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Étape 14.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 14.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 14.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 14.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 14.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 14.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{u_{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Étape 15.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 17.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 18

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Étape 19

Simplifiez

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Étape 21

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 21.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Étape 21.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2} + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Étape 21.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Étape 21.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 21.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 22.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.3.4

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.3.5

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.4

Multipliez $\frac{- 1}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Étape 22.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

Étape 22.8

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 22.8.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

Étape 22.8.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Étape 22.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.9.1

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Étape 22.9.2

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 22.10.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.10.3.1

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Étape 22.10.5

Associez $\frac{1}{8}$ et $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.11

Pour écrire $\frac{x^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 22.12.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.12.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.14

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Étape 22.15

Appliquez la propriété distributive.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 22.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{4}$ dans le numérateur.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.16.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.16.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.16.4

Réécrivez l’expression.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.17

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.18

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 22.18.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Étape 22.18.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 22.18.3

Annulez le facteur commun.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 22.18.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Étape 22.19

Associez $3$ et $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.20

Pour écrire $- 3 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.21

Associez $- 3 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 22.23.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

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Étape 22.23.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.23.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.23.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.24

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.25

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.26

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 22.27

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Étape 22.28

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Étape 22.29

Réécrivez $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ comme $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Étape 22.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Étape 23

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$