Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Alors $d u = (6 x + 12) d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x + 12$ et $0$ .

$6 x + 12$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $3$ et $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Étape 1.5.3

Additionnez $15$ et $1$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Étape 2

Associez $u^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $16$ et sur $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $2$ de $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Étape 5.5.3

Annulez le facteur commun à $126$ et $3$ .

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Étape 5.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Étape 5.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Étape 5.5.3.2.4

Divisez $42$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $42$ .

$\frac{42}{6}$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun à $42$ et $6$ .

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Étape 5.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Étape 5.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{1}$

Étape 5.6.2.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$7$