Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , donc $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{3}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = {u_{2}}^{2}$ et $d v = e^{3 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 5.2

Associez ${u_{2}}^{2}$ et $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Étape 7.2

Associez $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ et $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

Étape 7.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Étape 9.2

Réécrivez $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ comme $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

Étape 9.3

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ et $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.3.4

Associez $e^{u_{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.3.5

Associez ${u_{2}}^{2}$ et $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

Étape 9.3.6

Soustrayez $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ de $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ .

$0 + C$

Étape 9.3.7

Additionnez $0$ et $C$ .

$C$