Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 - \cos (x)$ . Alors $d u = \sin (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 4 - \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $4 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Étape 4.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$