Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Étape 2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(u - 1)}^{2}$ comme $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Étape 7

Soustrayez $1 u$ de $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Étape 8

Divisez $u^{2} - 2 u + 1$ par $u$ .

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $u^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Étape 8.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Étape 8.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Étape 8.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Étape 8.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Étape 8.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Étape 8.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$