Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3 (u - 1) + 2}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + \frac{- 3 (u - 1)}{u} + \frac{2}{u} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int \frac{- 3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4.2

Réécrivez ${(u - 1)}^{2}$ comme $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 5

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 6

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 9

Soustrayez $1 u$ de $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 10

Divisez $u^{2} - 2 u + 1$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Étape 10.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $u^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Étape 10.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Étape 10.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Étape 10.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Étape 10.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Étape 10.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Étape 10.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Étape 10.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Étape 10.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Étape 10.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - \int \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 16

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - (3 \int \frac{u - 1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 17

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int \frac{u - 1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 18

Divisez $u - 1$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Étape 18.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Étape 18.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Étape 18.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Étape 18.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Étape 18.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int 1 - \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 19

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 20

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 22

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{2}{u} d u$

Étape 23

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 24

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 25

Simplifiez

$\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 26

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 27

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Soustrayez $3 u$ de $- 2 u$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + \ln (| u |) + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 27.2

Additionnez $\ln (| u |)$ et $3 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 4 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 27.3

Additionnez $4 \ln (| u |)$ et $2 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 6 \ln (| u |) + C$

Étape 28

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 5 (x + 1) + 6 \ln (| x + 1 |) + C$