Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{y \sqrt{y}} d y$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 2.1.2

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{y^{1 + \frac{1}{2}}} d y$

Étape 2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d y$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 + 1}{2}}} d y$

Étape 2.1.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Retirez $y^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$ comme $- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$