Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 2}{{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x - 4$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 2 + 2}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3

Associez.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + 4)}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u + 8}{4 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 8}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Développez $(u + 8) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{- 1}{2}}$ et $8 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int 8 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 8

Comme $8$ est constant par rapport à $u$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (8 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 4$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Pour écrire $2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Multipliez ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.1.1

Déplacez ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 ({(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{1}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.2

Simplifiez $2 {(2 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x - 4)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x - 8}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.6

Soustrayez $8$ de $- 16$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 24$ .

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Étape 13.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x) - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.3.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.4

Associez.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13.7

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$\frac{x - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$