Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$u - \ln (| u |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$