Calcul infinitésimal Exemples

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Développez ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ comme $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.5

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.6

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.9

Additionnez $2$ et $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

Étape 2.13

Additionnez $6 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $2$ et sur $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Étape 11.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

Étape 11.3

Évaluez $4 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.5

Additionnez $\frac{32}{5}$ et $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.6

Associez $9$ et $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.7

Multipliez $9$ par $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.12

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.13

Associez $12$ et $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.14

Multipliez $12$ par $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.15

Annulez le facteur commun à $96$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.15.1

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.15.2.4

Divisez $32$ par $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.16

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.17

Associez $32$ et $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.19

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.19.1

Multipliez $32$ par $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.19.2

Additionnez $288$ et $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.20

Multipliez $4$ par $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

Étape 11.4.21

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

Étape 11.4.22

Additionnez $8$ et $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

Étape 11.4.23

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

Étape 11.4.24

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

Étape 11.4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

Étape 11.4.26

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.26.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

Étape 11.4.26.2

Additionnez $448$ et $40$ .

$π \frac{488}{5}$

Étape 11.4.27

Associez $π$ et $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

Étape 11.4.28

Déplacez $488$ à gauche de $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{488 π}{5}$

Forme décimale :

$306.61944299 \dots$

Étape 13