Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Étape 2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Étape 11.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Étape 11.3

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Étape 12.3

Additionnez $\sin (π)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Étape 13.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Étape 13.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Étape 13.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 13.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{4}$

Forme décimale :

$0.78539816 \dots$

Étape 15