Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \ln (x) d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Étape 7.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$