Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 2 x^{3}$ . Alors $d u = 6 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 2 x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 2 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 + 6 x^{2}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $6 x^{2}$ .

$6 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{3}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{3} u^{5} \frac{1}{6} d u$

Étape 2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{5}}{6} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{3}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $729$ et $6$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Pour écrire $\frac{243}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Étape 5.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.2.1

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Étape 5.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 5.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Étape 5.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.1

Multipliez $243$ par $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Étape 5.5.4.2

Soustrayez $1$ de $729$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{728}{6}$

Étape 5.5.5

Annulez le facteur commun à $728$ et $6$ .

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Étape 5.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $728$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Étape 5.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{364}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{6 \cdot 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{364}{18}$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun à $364$ et $18$ .

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Étape 5.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $364$ .

$\frac{2 (182)}{18}$

Étape 5.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{182}{9}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{182}{9}$

Forme décimale :

$20.\overline{2}$

Forme de nombre mixte :

$20 \frac{2}{9}$