Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{4}{4 + x^{2}}$ par $1$ .

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Étape 6.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Étape 6.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

Étape 6.2.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Étape 7.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{π}{4}$

Étape 7.5

Associez $2$ et $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$

Étape 9