Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Laissez $x = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.5

Associez $3$ et $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.7

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.8

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.12

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ à $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (t)$ comme $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Étape 8

Simplifiez

$- t - \cot (t) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$