Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Étape 1

Associez $\frac{1}{θ^{2}}$ et $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Étape 2

Laissez $u = \frac{1}{θ}$ . Alors $d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ$ , donc $- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{1}{θ}$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{θ}$ comme $θ^{- 1}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- θ^{- 2}$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{θ^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \cos (u) d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \sin (u) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{θ}$ .

$- \sin (\frac{1}{θ}) + C$