Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Étape 1

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Étape 2.4

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u^{2}$ et $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Étape 9

Réécrivez $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ comme $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Étape 11.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Étape 11.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$