Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Étape 1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Alors $d u = 2 r d r$ , donc $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d r}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + r^{2}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $4$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 r$ .

$2 r$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ comme $u - 4$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u - 4}$ comme ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Développez $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $5$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Étape 10.2

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $5$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.4.1

Simplifiez

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Étape 10.4.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.2

Simplifiez

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Étape 10.4.2.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.2.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.3

Simplifiez

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Étape 10.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Étape 10.4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Étape 10.4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

Étape 10.4.3.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

Étape 10.4.5

Simplifiez

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Étape 10.4.5.1

Pour écrire $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 10.4.5.2

Associez $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 10.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 10.4.5.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Forme décimale :

$0.11584138 \dots$