Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ comme $- u + 1$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- u + 1}$ comme ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.2

Associez $- u$ et $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.3

Factorisez le signe négatif.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5.9

Multipliez $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Étape 14.2

Simplifiez

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Associez ${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 17.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 17.2

Pour écrire $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 17.3

Pour écrire $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 17.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 17.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Étape 17.4.3

Multipliez $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Étape 17.4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Étape 17.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Étape 17.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Étape 17.6.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Étape 17.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Étape 17.8

Factorisez $- 1$ à partir de $5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Étape 17.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Étape 17.10

Réécrivez $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ comme $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Étape 17.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Étape 17.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Étape 17.13

Multipliez $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ par $1$ .

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$