Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt{x - 2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u + 2) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u + 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 2)}^{\frac{5}{2}} + C$