Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(3 + e^{x})}^{2}}{e^{x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $- d u = - e^{x} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int 1 u^{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{3} {(3 + e^{x})}^{3} + C$