Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x + 1) \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + x^{2}$ . Alors $d u = (2 x + 2) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 + 2 x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x + 2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(2 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$